Scilavinka

<이 글은 幻冬舎plus에 연재중인 ‘計算されたリスクを取ること’ 기사를 번역한 것입니다.>


나쁜 버릇이 있는 주사위


‘경험으로부터 배운다’라는 것에 대해 한 번 더 이야기해두자.


수학에서 확률 공부를 할 때, 보통 ‘주사위를 던질 때 1의 눈이 나왔을 경우, 다음 주사위를 던질 때 어떤 눈이 나올지의 확률은 변하지 않는다.’ 라는 것부터 강조 받는다. 주사위를 두 번 던졌을 때, 각각의 확률은 독립되어 있기 때문이다. 가령, 나쁜 버릇이 없는 주사위라면, 처음에 1의 눈이 나올 확률은 1/6이고, 다음에 1의 눈이 나올 확률도 역시 1/6이다.


그런데, 나쁜 버릇이 없는 주사위와 나쁜 버릇이 있는 주사위가 섞여있고, 두 주사위 중 어떤 주사위를 던졌는지 알 수 없을 때는, 첫 번째에 1의 눈이 나올지의 여부에 의해, 두 번째의 확률이 좌우된다.


주사위에 나쁜 버릇이 없다면 1의 눈이 나올 확률은 1/6이고, 나쁜 버릇이 있는 주사위가 1의 눈이 나올 확률을 1/2이라고 하자. 즉,


P(나쁜 버릇 없음 → 1의 눈) = 1/6

P(나쁜 버릇 있음 → 1의 눈) = 1/2


그리고 나쁜 버릇이 없는 주사위와 나쁜 버릇이 있는 주사위가 같은 수 만큼 있어서, 둥 중 하나를 무작위로 골랐을 때 어느 주사위를 골랐는지 알 수 있는 확률이 반반이라고 하자. 즉,


P(나쁜 버릇 없음) = P(나쁜 버릇 있음) = 1/2


이 정보를 바탕으로, 1의 눈이 나올 확률을 계산하면,


P(1의 눈) = P(나쁜 버릇 없음) P(나쁜 버릇 없음 → 1의 눈)

 + P(나쁜 버릇 있음) P(나쁜 버릇 있음 → 1의 눈) = 1/3


이 된다. 나쁜 버릇이 있는 주사위가 섞여 있으므로, 1의 눈이 나올 확률은 1/3이 된다.


그럼, 처음에 1의 눈이 나왔다고 할 때, 그때 같은 주사위를 한 번 더 던져서 두 번째도 1의 눈이 나올 확률은 어떠할까? 우선, 처음에 1의 눈이 나왔는지의 여부에 따라 주사위에 나쁜 버릇이 있는지 없는지의 확률이 변한다는데 주의하자.


베이즈 정리를 쓰면,


P(1의 눈) P(1의 눈 → 나쁜 버릇 없음) = P(나쁜 버릇 없음) P(나쁜 버릇 없음 → 1의 눈)


이다. 따라서,


P(1의 눈 → 나쁜 버릇 없음) = 1/4

P(1의 눈 → 나쁜 버릇 있음) = 3/4


이 된다. 본래 주사위에 나쁜 버릇이 있는지 없는지의 확률은, P(나쁜 버릇 없음) = P(나쁜 버릇 있음) = 1/2 였지만, 처음에 주사위를 던져 1의 눈이 나왔다면 나쁜 버릇이 있을 확률은 3/4로 증가한다.


나쁜 버릇이 있을 확률이 증가했으므로, 같은 주사위로 한 번 더 던졌을 때는 1의 눈이 나올 확률도 증가한다. 계산해보면,


P(1의 눈 → 1의 눈) = P(1의 눈 → 나쁜 버릇 없음) P(나쁜 버릇 없음 → 1의 눈) 

+ P(1의 눈  →나쁜 버릇 있음) P(나쁜 버릇 있음 → 1의 눈) = 1/4×1/6 + 3/4×1/2 = 5/12


처음에 던졌을 때 1의 눈이 나올 확률은 P(1의 눈)=1/3=0/3 였지만, 1의 눈이 나왔을 때 같은 주사위를 한 번 더 던져도 일단 1의 눈이 나올 확률은 P(1의 눈 → 1의 눈) = 5/12 = 0.4 로 증가해 있다. 처음에 1의 눈이 나온것을 알았다면, 주사위에 나쁜 버릇이 있을 확률은 1/2 에서 3/4로 바뀜으로, 그 정보를 사용하면 다음에도 1의 눈이 나올 확률은 1/3에서 5/12로 수정되어진다.



후쿠시마의 원전사고로부터 무엇을 배우는가?


이 확률 계산방법은, 일본인이 직면하고 있는 커다란 문제와 관계있다.


우리들은, 불확실한 정보에 의거하여 판단을 하지 않으면 안된다. 가령, 후쿠시마 제1원자력 발전소에 사고가 발생하기 전에는, 일본의 원자력발전소에서 큰 사고가 일어날 확률은 매우 작은 것으로 알려져왔다. 하지만, 이번의 사고로 명백해 진 것처럼, 원전의 구조는 복잡하고, 전문가도 그 안전성을 완전하게 이해하고 있는 것은 아니다. 사고가 일어날 확률이 어느정도인가는 아무도 정확하게 알지 못한다. 이것은 앞선 이야기 같이, 주사위에 나쁜 버릇이 있는지의 여부, 1의 눈이 나올 확률이 1/6인지 1/2인지의 여부를 알지 못하는 것과 비슷하다.


도쿄전력은 이번 사고가 일어나기 전에, 원전의 노심이 손상될 중대한 사고가 일어날 확률은 한 기당 1,000만년에 1회에 있을 정도라는 추정을 국가에 제출했다고 신문에서 읽었다. 일본에서 원자력 발전이 시작된 것은 지금부터 약 50년전의 일이다. 현재 일본에는, 50기 정도의 원전이 있다. 최근 건설된 것도 있으므로, 가동연수를 실제보다 줄여 근사적으로 계산해보면 총 1,500년 동안 원전이 가동되어 왔다는 추정이 나온다. 그러면, 도쿄전력이 계산한 확률이 옳다면, 과거 50년 사이에 일본에 중대한 사고가 일어날 확률은 1,500/10,000,000 = 0.00015 라는 이야기가 된다. 이것을


P(도쿄전력 → 사고) = 0.00015


라고 적기로 하자.


한편, 원전의 건설에 반대하고 있는 사람들은, 중대사고의 확률은 무시될 수 없다고 주장하고 있다.  얼마나 위험하다고 추정하고 있는지 모르나, 가령 수 세기에 1회 정도 일본의 어딘가에서 중대사고가 일어나는 것을 걱정하고 있다고 가정한다면, 100년에 1회 정도라고 가정할 수 있을 것이다. 여기서, 반원전운동가들이 옳을 경우 지난 50년 사이의 중요사건이 일어나 확률은 50/100, 즉


P(반원전 → 사고) = 50/100=0.5


가 된다.


앞에서 나쁜 버릇이 있는 주사위에 비유하자면, ‘도쿄전력의 추정이 옳다’는 것은 ‘나쁜 버릇이 없는 주사위를 손에 넣는 경우’, ‘반원전운동가들의 추정이 옳다’는 것은 ‘나쁜 버릇이 있는 주사위를 손에 넣는 경우’가 된다. 나쁜 버릇이 있는 주사위를 손에 넣은 경우는 1의 눈이 나올 확률이 높아진 것처럼, 반원전운동가들의 주장이 옳다면 중대한 사고가 일어날 확률이 높아진다.


여기서부터의 계산에서는, 이야기를 간단히 하기위해 도쿄전력의 추정한 확률과 반원전운동가들이 추정한 확률의 중에 어느 한 쪽이 타당하다고 가정한다. 도쿄전력도 반원전운동가들도 어느쪽도 확률의 추정이 틀렸을 경우도 배제할 수 없음으로, 이것은 커다란 가정이다. 하지만, 여기서는 베이즈의 정리의 사용방법을 설명하는 것이 목적임으로, 이 가정을 바탕으로 계산을 진행하기로 한다. 단, 여기서 계산된 확률의 값을 그대로 받아들이지 않았으면 한다.


사고가 일어나기 전에는, 많은 사람들이 도쿄전력의 말을 믿고 있었을 것이다. 적어도 발전소 건설을 동의한 정치인들은 그렇게 판단하고 있었을 것이다. 가령, 도쿄전력의 주장이 옳다고 99%의 확률로 믿고 있었다고 하자.


P(도쿄전력) = 0.99,   P(반원전) = 0.01


라고 적기로 하자. 이 정도의 지식으로부터, 50년 사이에 중요한 원전사고가 일어날 확률을 계산해보면,


P(사고) = P(도쿄전력)×P(도쿄전력 → 사고) + P(반원전)×P(반원전 → 사고) 

= 0.99×0.0001 + 0.01×0.5 = 0.0051


즉, 반원전운동가들이 100년에 1번 사고가 일어남으로 위험하다고 말했어도, 그들이 옳을 확률이 1% 밖에 없다면, 일본 국내의 어딘가에서 중요한 사고가 일어나는 것은 50년에 0.005번의 확률, 즉 1만년에 1번이라는 계산이 나온다.


그런데, 일본에 원전이 가동을 시작한지 불과 50년 사이에, 노심이 녹아 내리는 멜트다운이 일어나고 말았다. 일단  사고가 발생하면 지금까지 99%로 옳다고 믿어왔던 도쿄전력의 주장을 재검토 하지 않으면 안된다. 여기서, 베이즈의 정리를 사용하면,


P(사고) P(사고 → 도쿄전력) = P(도쿄전력) P(도쿄전력 → 사고)


임으로,


P(사고 → 도쿄전력) = [ P(도쿄전력) P(도쿄전력 → 사고) ] / P(사고) 

= (0.99×0.00015) / 0.005 = 0.03


이 된다. 사고가 일어난 것으로, 도쿄전력의 주장이 옳을 확률은 99%에서 3%로 격감해버렸다. 이것은, 도쿄전력이 주장하고 있던 사고의 확률 P(도쿄전력 → 사고)가 0.00015 로 극단적으로 작았던 것이 원인이다. 사고는 대부분 일어나지 않는다고 주장하고 있었지만, 사고가 일어난 이상 도쿄전력의 주장이 옳을 확률은 낮아지는 것이 당연하다. ‘신뢰를 잃다’ 라고 하는 것을, 베이즈의 정리를 사용해 수학의 언어로 표현하면 이렇게 된다.


그렇다면, 사고가 일어난 지금, 이 다음에 중요한 사고가 일어날 확률은 어떨까? 가동률이 사고 이전과 같은 정도라고 가정하면,


P(사고 → 사고) = P(사고 → 도쿄전력)×P(도쿄전력 → 사고) + P(사고 → 반원전)×P(반원전 → 사고)

= 0.03 × 0.00015 + 0.97×0.5 = 0.5


반원전운동가들이 말했던 것처럼 50년에 0.5번, 즉 100년에 1번이라는 결과가 나온다.


앞서 이야기 했던 것처럼, 여기서 간단한 가정 아래에서 베인즈 정리의 사용 방법을 설명하기 위해, ‘도쿄전력와 반원전운동가 중 어느 한 쪽이 옳다’라는 가정을 하고 계산했다. 물론, 도쿄전력도 반원전운동가도 어느쪽도 틀렸을 가능성도 있다. 또, P(반원전 →사고) = 0.5 나 P(반원전)=0.01 와 같은 값도, 임의로 가정한 숫자임으로 계산의 결과를 액면 그대로 받아들여선 안된다.


도쿄전력은, 이번 사고로부터 약 반 년 후의 2011년 10원 17일, 후쿠시마 제1원전에서 1호기부터 3호기 중 하나라도 노심이 다시 손상을 일으킬 확률이 5,000년에 1번이라고, 수정된 확률을 공표했다 (도쿄전력 ‘후쿠시마 제1원전 1~4호기에 대한 “중기적안전확보의 고찰 법”에 대한 시설운영계획에 관한 보고서 1). 이 확률의 평가에는, 3기에 사고가 독립적으로 일어날 가능성도 그렇지 않을 가능성도 포함되어 있다. 이 평가 방법이 일본의 다른 원전에도 들어맞는다고 한다면, 일본 전국에는 약 50기의 원전이 가동 중임으로, 이 모두가 재가동 할 때 일본 어딘가에 중요한 사고가 일어날 확률은 크게 추정해도 50배 (도쿄전력이 계산한 확률을 3기가 독립적인 것이라 해석할 경우), 적게 추산하면 50/3 배 (3기가 독립되지 않고 동시에 사고가 일어날 것이라 해석할 경우). 즉, 100~300년에 1번이라는 결과가 나온다. 반원전운동가들의 주장한 100년에 한 번에 가깝다. 도쿄전력도 베이즈의 정리를 사용했던 것일까.


새로운 정보를 얻었다면, 그것을 사용해 확률을 수정해 나가는 것으로 불확정성을 감소시키는 것이 가능하다. 이것이 ‘경험으로부터 배운다’라고 하는 것이다. 원전을 멈추는 것도 위험이 있다. 또, 지구의 대규모 기후 변화에 미치는 영향도 고려하지 않으면 안된다. 다양한 위험을 비교해서 판단하는, 다시 말해 계산된 위험을 감수하기 위해서는 확률의 옳바른 해석이 필요하다.


진보는 경험을 쌓을 때마다 더 정확한 지식을 갖게된다는 것이다. 새로운 정보가 손에 들어왔을 때, 지금까지의 판단을 바꿀 수 있는 용기와 부드러운 마음을 갖자. 베이즈의 정리는 그런 것을 우리에게 가르쳐주고 있다고 생각된다.



다슈비츠 교수에 대한 반론


그럼, 처음의 O. J. 심슨 재판 이야기로 돌아가자. 변호인단의 다슈비츠 교수는 가정내 폭력을 행한 남편이 아내를 살해할 확률이 2,500분의 1로, 이것은 매우 작기 때문에 증거로서 의미가 없다는 주장을 했다. 즉,


P(가정내 폭력 → 남편에 의한 살해) = 1 / 2,500


이 된다. 따라서, 심슨 재판에서 문제가 되었던 것은, ‘가정내 폭력이 있었고, 게다가 아내가 살해 당했을 때, 남편이 아내를 죽였을 확률’ 이다.


미국에서는, 기혼 여성이 남편 이외의 남자에게 살해당할 확률은 20,000명 중 1명 꼴이라 한다. 가령, 가정내 폭력을 받은 아내가 100,000명이 있다고 하면, 그 중 5명은 가정내 폭력과 관계없이 살해 당하게 된다. 한편, 가정내 폭력을 받은 아내가 남편에게 살해 당할 확률은 1/2,500 이므로, 100,000명 중 40명이 남편에게 살해당하게 된다. 살해당한 아내는 모두 40+5=45명이다. 그 중에서, 남편이 살해한 경우는 40명임으로, 가정내 폭력을 받은 아내가 남편에게 살해 당했을 확률은,


P(가정내 폭력이 있고 타살 → 남편에 의한 살인) = 4-/45 = 0.9


라는 결론이 나온다. 즉, 심슨이 가정내 폭력을 휘두르고 있었던 것을 입증할 수 있다면, 그가 아내를 살해했을 확률은 90%이다. 이것만으로는 ‘합리적인 의심이 없다’고까지 말할 수 없지만, 증거로써 중요하다는 것은 분명하다. 


다슈비츠 교수의 주장에, 90%라는 숫자로 반론가능하다. 이것이 수학의 힘이다. 이 연재에서는 이와 같은 수학의 사용 방법을 해설해 나가는 것으로 한다.


결국, 재판의 결정적 수단이 되었던 것은 사건 당시에 사용되었던 검은 가죽 장갑이었다. 심슨의 자택에서 발견된 장갑의 한쪽에는, 살해된 2명의 혈흔과 갈색의 금발이 붙어 있었고, 그곳에서 심슨의 DNA도 검출되었다. 하지만 이 장갑을 증거로 제출한 검찰측은 심슨에게 장갑을 끼도록 요구하는 치명적적인 실수를 범했다. 피로 물든 가죽 장갑은 오그라 들어 있어, 심슨의 큰 손이 들어가지 않았던 것이다. 여기에 더해, 이 장갑을 발견한 형사가 인종차별주의자임이 폭로되었다. 변호인단은 흑인인 심슨을 함정에 빠뜨리기 위해 이 형사가 증거를 날조했을 가능성을 주장했다. 경찰의 기록관리 부실도 밝혀져, 합리적 의심을 품은 배심원은 만장일치로 무죄 판결을 내렸다. 수학은 도움이 되지만, 그것만으로는 재판에 이길 수 있다고는 말할 수 없다.




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